一些数学

泰勒展开 ​

记忆部分： ​

$f(x)$ 在 $x_0$ 处的泰勒展开

常见的麦克劳林展开（$x_0=0$ 时的泰勒展开）

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots$

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\dots$

$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\dots$

$-\ln (1-x)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\dots$

proof： ​

下证 $f(x)-T_n(x)$ 是关于 $(x-x_0{)}^n$ 的高阶无穷小

对于 $k=0,1,2,\dots ,n$，泰勒多项式 $T_n(x)$ 的 $k$ 阶导数为：

容易发现 $f^{(k)}(x_0)=T_n^{(k)}(x_0)$.

令 $P_n(x)=f(x)-T_n(x)$，$Q_n(x)=(x-x_0{)}^n$

即要证明

做 $n-1$ 次洛必达

由导数的定义可知 $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_0)}{(x-x_0)}=f^{(n)}(x_0)$，所以这个式子的结果就是 $0$.

应用 ​

由此我们可以获得 $e^x$ 的任意正整数次幂的多项式的放缩，在导数解答题使用非常常见（一次就是切线放缩，二次比较常见）。

值得注意的是，解答题不能直接使用泰勒公式，要构造函数说明放缩成立。

选择题比较大小也可以构造代入使用。

三角函数 ​

欧拉公式 ​

引入 $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$.

proof ​