一些物理

一轮复习记点东西

晾衣架模型

F_{1} = F_{2} = F_{T} \Rightarrow θ_{1} = θ_{2}

同时有

\sin θ = \frac{d}{l}

其中 $l$ 是绳长。

物体在水平面上，风阻力 $F_{f} = k v$ ，物体有向上的速度 $v_{0}$ ，重力加速度 $g$ 。

\frac{d v}{d t} = g + \frac{k v}{m}

d t = \frac{1}{g + \frac{k v}{m}} \cdot d v

\int_{0}^{t_{0}} d t = t_{0} = \int_{0}^{v_{0}} \frac{1}{g + \frac{k v}{m}} \cdot d v

令 $T = m g + k v$

t_{0} = \int_{m g}^{m g + k v_{0}} \frac{m}{T} \cdot d (\frac{T}{k} - \frac{m g}{k})

= \frac{m}{k} \int_{m g}^{m g + k v_{0}} \frac{1}{T} d T

= \frac{m}{k} \ln T + c |_{m g}^{m g + k v_{0}}

= \frac{m}{k} \ln (1 + \frac{k v_{0}}{m g})

引入动量定理

m \cdot d v = F \cdot d t

\sum m \cdot d v = \sum (m g + k v) \cdot d t

\Rightarrow m △ v = m g t + k x

令 $△ v = v_{0}, t = t_{0}$ ，解得

x_{m a x} = \frac{m}{k} v_{0} - g \frac{m^{2}}{k^{2}} \ln (1 + \frac{k v_{0}}{m g})

下降时，物体受重力 $m g$ 向下，风阻力 $k v$ 向上（与速度方向相反），故运动方程为

m \frac{d v}{d t} = m g - k v .

分离变量得

d t = \frac{1}{g - \frac{k v}{m}} \cdot d v .

积分，从 $t = 0$ （最高点， $v = 0$ ）到 $t = t_{1}$ （落地， $v = v_{1}$ ）：

t_{1} = \int_{0}^{t_{1}} d t = \int_{0}^{v_{1}} \frac{1}{g - \frac{k v}{m}} \cdot d v .

令 $T = m g - k v$ ，则 $d T = - k \cdot d v$ ， $d v = - \frac{d T}{k}$ ，且当 $v = 0$ 时 $T = m g$ ， $v = v_{1}$ 时 $T = m g - k v_{1}$ ：

t_{1} = \int_{m g}^{m g - k v_{1}} \frac{1}{T / k} \cdot (- \frac{d T}{k}) = \int_{m g}^{m g - k v_{1}} - \frac{m}{T} d T = \frac{m}{k} \int_{m g - k v_{1}}^{m g} \frac{1}{T} d T = \frac{m}{k} \ln \frac{m g}{m g - k v_{1}} .

其中 $v_{1}$ 为落地时的速度，可由能量关系或动量定理求得。由动量定理：

m △ v = \sum (m g - k v) \cdot d t \Rightarrow m v_{1} = m g t_{1} - k x_{m a x} .

代入 $t_{1}$ 和 $x_{m a x}$ 可得关于 $v_{1}$ 的方程，但通常我们更关心下降时间与上升时间的关系。

注意到上升时间 $t_{0} = \frac{m}{k} \ln (1 + \frac{k v_{0}}{m g})$ ，下降时间 $t_{1} = \frac{m}{k} \ln \frac{m g}{m g - k v_{1}}$ 。

由于有风阻损耗，落地速度 $v_{1} < v_{0}$ ，故 $t_{1} > t_{0}$ ，即下降时间大于上升时间。

抓住点面速度相等。

所以有

v_{1} \cos a = v \sin a

从而得到：

v_{1} = v \tan a

作者Shawn

发布于6/6

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